仿射变换又称仿射映射吗？可逆仿射变换组成仿射群是？

发布时间：2023-05-17 16:00:56

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来源:创视网

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仿射变换又称仿射映射吗?

仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。[1]

仿射变换是在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射(来自拉丁语，affine，“和…相关”)由一个非奇异的线性变换(运用一次函数进行的变换)接上一个平移变换组成。

在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。

可逆仿射变换组成仿射群是?

可逆仿射变换组成仿射群，其中包含具n阶的一般线性群为子群，且自身亦为一n+1阶的一般线性群之子群。当A为常数乘以正交矩阵时，此子集合构成一子群，称之为相似变换。举例而言，假如仿射变换于一平面上且假如A之行列式为1或-1，那么该变换即为等面积变换。此类变换组成一称为等仿射群的子集。一同时为等面积变换与相似变换之变换，即为一平面上保持欧几里德距离不变之保距映射。这些群都有一保留了原定向的子群，也就是其对应之A的行列式大于零。在最后一例中，即为三维中刚体运动之群(旋转加平移)。假如有一不动点，我们可以将其当成原点，则仿射变换被缩还到一线性变换。这使得变换更易于分类与理解。举例而言，将一变换叙述为特定轴的旋转，相较于将其形容为平移与旋转的结合，更能提供变换行为清楚的解释。只是，这取决于应用与内容。